Identidad de polarización

En matemáticas, la identidad de polarización es cualquiera de una familia de fórmulas que expresan el producto interior de dos vectores en términos de norma de un espacio vectorial normed. Deje denotan la norma de vector x y el producto interior de vectores x y y. Entonces el teorema subyacente, atribuido a Fréchet, von Neumann y Jordania, se declara como:

El:In un espacio normed (V), si la ley del paralelogramo sostiene, entonces hay un producto interior en V tal esto para todos.

Fórmula

Varias formas dadas abajo son todos relacionadas por la ley del paralelogramo:

:

2 \|\textbf {u }\\| ^2 + 2 \|\textbf {v }\\| ^2 = \| \textbf {u} + \textbf {v }\\| ^2 + \| \textbf {u}-\textbf {v }\\| ^2.

</matemáticas>

La identidad de polarización se puede generalizar a varios otros contextos en álgebra abstracta, álgebra lineal y análisis funcional.

Para espacios vectoriales con verdaderos escalares

Si V es un verdadero espacio vectorial, entonces el producto interior es definido por la identidad de polarización

:

Para espacios vectoriales con escalares complejos

Si V es un espacio vectorial complejo el producto interior da la identidad de polarización:

:

donde yo = √ (−1).

Casos especiales múltiples para la norma Euclidiana

Un caso especial es un producto interior dado por el producto de punto, el llamado producto interior estándar o Euclidiano. En este caso, las formas comunes de la identidad incluyen:

:

\begin {serie} {lr }\

El \textbf {u }\\cdot\textbf {v} = \displaystyle\frac {1} {2 }\\se fue (\| \textbf {u} + \textbf {v }\\| ^2 - \| \textbf {u }\\| ^2 - \| \textbf {v }\\| ^2\right), \quad & (1) \\[1.5em]

El \textbf {u }\\cdot\textbf {v} = \displaystyle\frac {1} {2 }\\se fue (\| \textbf {u }\\| ^2 + \| \textbf {v }\\| ^2 - \| \textbf {u}-\textbf {v }\\| ^2 \right), & (2) \\[1.5em]

El \textbf {u }\\cdot\textbf {v} = \displaystyle\frac {1} {4 }\\se fue (\| \textbf {u} + \textbf {v }\\| ^2 - \| \textbf {u}-\textbf {v }\\| ^2 \right). & (3)

\end {serie} </matemáticas>

Aplicación para puntear productos

Relación a la ley de cosenos

La segunda forma de la identidad de polarización se puede escribir como

:

\| \textbf {u}-\textbf {v }\\| ^2 = \| \textbf {u }\\| ^2 + \| \textbf {v }\\| ^2 - 2 (\textbf {u }\\cdot\textbf {v}).

</matemáticas>

Esto es esencialmente una forma del vector de la ley de cosenos para el triángulo formado por los vectores u, v, y uv. En detalle particular,

:

\textbf {u }\\cdot\textbf {v} = \| \textbf {u }\\| \, \| \textbf {v }\\| \cos\theta,

</matemáticas>

donde &theta; es el ángulo entre los vectores u y v.

Derivación

La relación básica entre la norma y el producto de punto da la ecuación

:

Entonces

:

\begin {alignat} {2 }\

\| \textbf {u} + \textbf {v }\\| ^2 &= (\textbf {u} + \textbf {v}) \cdot (\textbf {u} + \textbf {v}) \\[3pt]

&= (\textbf {u }\\cdot\textbf {u}) + (\textbf {u }\\cdot\textbf {v}) + (\textbf {v }\\cdot\textbf {u}) + (\textbf {v }\\cdot\textbf {v}) \\[3pt]

&= \| \textbf {u }\\| ^2 + \| \textbf {v }\\| ^2 + 2 (\textbf {u }\\cdot\textbf {v}),

\end {alignat }\

</matemáticas>

y de manera similar

:

\| \textbf {u}-\textbf {v }\\| ^2 = \| \textbf {u }\\| ^2 + \| \textbf {v }\\| ^2 - 2 (\textbf {u }\\cdot\textbf {v}).

</matemáticas>

Las formas (1) y (de 2) de la identidad de polarización ahora siguen solucionando estas ecuaciones para u · v, mientras la forma (3) sigue de restar estas dos ecuaciones. (La adición de estas dos ecuaciones juntos da la ley del paralelogramo.)

Generalizaciones

Normas

En el álgebra lineal, la identidad de polarización se aplica a cualquier norma según un espacio vectorial definido en términos de producto interior por la ecuación

:

Como notado por el caso del producto de punto encima, por verdaderos vectores u y v, un ángulo θ se puede introducir usando:

:

que es aceptable en virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

:

Esta desigualdad garantiza que la magnitud del susodicho coseno definido ≤ 1. La opción de la función del coseno asegura que cuando (vectores ortogonales), el ángulo θ = π/2.

En este caso, las identidades se hacen

:

\begin {serie} {l }\

\langle u, v \rangle = \frac {1} {2 }\\se fueron (\|u+v \|^2 - \|u \|^2 - \|v \|^2\right), \\[3pt]

\langle u, v \rangle = \frac {1} {2 }\\se fueron (\|u \|^2 + \|v \|^2 - \|u-v \|^2\right), \\[3pt]

\langle u, v \rangle = \frac {1} {4 }\\se fueron (\|u+v \|^2 - \|u-v \|^2\right).

\end {serie} </matemáticas>

A la inversa, si una norma según un espacio vectorial satisface la ley del paralelogramo, entonces cualquiera de las susodichas identidades puede ser usada para definir un producto interior compatible. En el análisis funcional, la introducción de una norma del producto interior como esto a menudo es usada para hacer un espacio de Banach en un Espacio de Hilbert.

Formas de bilinear simétricas

Las identidades de polarización no se restringen a productos interiores. Si B es alguna forma de bilinear simétrica en un espacio vectorial, y Q es la forma cuadrática definida por

:

entonces

:

Los \begin {alinean }\

2 B (u, v) &= Q (u+v) - Q (u) - Q (v), \\

2 B (u, v) &= Q (u) + Q (v) - Q (u-v), \\

4 B (u, v) &= Q (u+v) - Q (u-v).

Los \end {alinean }\

</matemáticas>

El llamado mapa de symmetrization generaliza la fórmula última, sustituyendo Q por un polinomio homogenous del grado k definido por Q (v) =B (v..., v), donde B es un mapa de k-linear simétrico.

Las fórmulas encima hasta se aplican en el caso donde el campo de escalares tiene dos característicos, aunque los lados izquierdos sean todo el cero en este caso. Por consiguiente, en dos característicos no hay ninguna fórmula para una forma de bilinear simétrica en términos de forma cuadrática, y son de hecho nociones distintas, un hecho que tiene consecuencias importantes en la L-teoría; para la brevedad, en este contexto "las formas de bilinear simétricas" a menudo se refieren como "formas simétricas".

Estas fórmulas también se aplican a formas de bilinear en módulos sobre un anillo conmutativo, aunque otra vez uno sólo pueda solucionar para B (u, v) si 2 es invertible en el anillo, y por otra parte éstas son nociones distintas. Por ejemplo, sobre los números enteros, uno distingue formas cuadráticas integrales de formas simétricas integrales, que son una noción más estrecha.

Más generalmente, en la presencia de una involución de toque o donde 2 no es invertible, uno distingue formas de ε-quadratic y formas de ε-symmetric; una forma simétrica define una forma cuadrática, y la identidad de polarización (sin un factor de 2) de una forma cuadrática a una forma simétrica se llama el "symmetrization mapa" y no es en general un isomorfismo. Esto ha sido históricamente una distinción sutil: sobre los números enteros sólo cuando los años 1950 la relación entre "ambos" (forma cuadrática integral) y "ambos en" (forma simétrica integral) se entendió - ven la discusión en la forma cuadrática integral; y en el algebraization de la teoría de la cirugía, Mishchenko al principio usó L-grupos simétricos, más bien que los L-grupos cuadráticos correctos (como en Wall y Ranicki) - ven la discusión en la L-teoría.

Números complejos

En el álgebra lineal sobre los números complejos, es acostumbrado para usar un producto interior sesquilinear, con la propiedad que es el complejo conjugado de. En este caso las identidades de polarización estándares sólo dan la verdadera parte del producto interior:

:

\begin {serie} {l }\

\text {Re }\\langle u, v \rangle = \frac {1} {2 }\\se fueron (\|u+v \|^2 - \|u \|^2 - \|v \|^2\right), \\[3pt]

\text {Re }\\langle u, v \rangle = \frac {1} {2 }\\se fueron (\|u \|^2 + \|v \|^2 - \|u-v \|^2\right), \\[3pt]

\text {Re }\\langle u, v \rangle = \frac {1} {4 }\\se fueron (\|u+v \|^2 - \|u-v \|^2\right).

\end {serie} </matemáticas>

La parte imaginaria del producto interior se puede recuperar así:

:

\begin {serie} {l }\

\text {Im }\\langle u, v \rangle = \frac {1} {2 }\\se fueron (\|u+iv \|^2 - \|u \|^2 - \|v \|^2\right), \\[3pt]

\text {Im }\\langle u, v \rangle = \frac {1} {2 }\\se fueron (\|u \|^2 + \|v \|^2 - \|u-iv \|^2\right), \\[3pt]

\text {Im }\\langle u, v \rangle = \frac {1} {4 }\\se fueron (\|u+iv \|^2 - \|u-iv \|^2\right).

\end {serie} </matemáticas>

Polinomios homogéneos de grado más alto

Finalmente, en cualquier de estos contextos estas identidades se pueden ampliar a polinomios homogéneos (es decir formas algebraicas) del grado arbitrario, donde se conoce como la fórmula de polarización y se examina en mayores detalles en el artículo sobre la polarización de una forma algebraica.

La identidad de polarización se puede declarar del modo siguiente:

:

Notas y referencias



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