Recurrente la menor parte de filtro de cuadrados

El filtro adaptable de los Recurrentes la menor parte de cuadrados (RLS) es un algoritmo que recurrentemente encuentra los coeficientes con filtro que minimizan un lineal ponderado la menor parte de función del coste de cuadrados que se relaciona con las señales de la entrada. Esto es en contraste con otros algoritmos como los la menor parte de cuadrados medios (LMS) que pretenden reducir el error estándar. En la derivación del RLS, las señales de la entrada se consideran deterministas, mientras para el LMS y algoritmo similar se consideran estocásticos. Comparado con la mayor parte de sus competidores, el RLS expone la convergencia muy rápida. Sin embargo, esta ventaja viene a costa de la complejidad computacional alta,

Motivación

En general, el RLS puede ser usado para solucionar cualquier problema que pueda ser solucionado por filtros adaptables. Por ejemplo, suponga que una señal d (n) se transmite sobre un echoey, canal ruidoso que hace que ella se reciba como

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donde representa el ruido aditivo. Intentaremos recuperarnos la señal deseada por el uso de un - dan un toque al filtro del ABETO:

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donde está el vector que contiene las muestras más recientes de. Nuestro objetivo es estimar los parámetros del filtro, y cada vez n mandamos al nuevo la menor parte de estimación de cuadrados por. Como el tiempo evoluciona, nos gustaría evitar completamente rehacer la menor parte de algoritmo de cuadrados para encontrar la nueva estimación para, en términos de.

La ventaja del algoritmo RLS es que no hay ninguna necesidad de invertir matrices, así salvando el poder computacional. Otra ventaja consiste en que proporciona la intuición detrás de tales resultados como el filtro de Kalman.

Discusión

La idea detrás de filtros de RLS es minimizar una función del coste seleccionando apropiadamente los coeficientes con filtro, actualizando el filtro cuando los nuevos datos llegan. La señal de error y la señal deseada se definen en el diagrama del feedback negativo abajo:

El error implícitamente depende de los coeficientes con filtro a través de la estimación:

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El ponderado la menor parte de función de error de cuadrados — la función del coste que deseamos minimizar — ser una función de e (n) es por lo tanto también dependiente de los coeficientes con filtro:

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donde

La función del coste se minimiza tomando los derivados parciales para todas las entradas del vector del coeficiente y poniendo los resultados al cero

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Después, sustituya por la definición de la señal de error

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El nuevo arreglo de la ecuación cede

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Esta forma se puede expresar en términos de matrices

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donde está la matriz de correlación de la muestra ponderada para y es la estimación equivalente para la correlación enfadada entre y. Basado en esta expresión encontramos los coeficientes que minimizan la función del coste como

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Esto es el resultado principal de la discusión.

Elección

Más pequeño es, la contribución más pequeña de muestras anteriores. Esto hace el filtro más sensible a muestras recientes, el que significa más fluctuaciones en los coeficientes con filtro. El caso se menciona como el algoritmo de la ventana RLS creciente.

Algoritmo recurrente

La discusión causó una ecuación sola para determinar un vector del coeficiente que minimiza la función del coste. En esta sección queremos sacar una solución recurrente de la forma

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donde está un factor de corrección en el tiempo. Comenzamos la derivación del algoritmo recurrente expresando la correlación enfadada en términos de

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donde está el vector de datos dimensional

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De manera similar expresamos en términos de por

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A fin de generar el vector del coeficiente nos interesamos en el inverso de la matriz de autocorrelación determinista. Para esa tarea la identidad de la matriz de Woodbury entra práctico. Con

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La identidad de la matriz de Woodbury sigue

:

Para venir de acuerdo con la literatura estándar, definimos

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donde el vector de la ganancia es

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Antes de que circulemos, es necesario traer en otra forma

:

Restar el segundo término en la izquierda cede

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Con la definición recurrente de la forma deseada sigue

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Ahora estamos listos para completar la recursión. Como hablado

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El segundo paso sigue de la definición recurrente de. Después incorporamos la definición recurrente de juntos con la forma alterna de y conseguimos

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Con llegamos a la ecuación de actualización

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donde

es el error a priori. Compare esto con el a posteriori error; el error contó después de que el filtro se actualiza:

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Esto significa que encontramos el factor de corrección

:

Este resultado intuitivamente satisfactorio indica que el factor de corrección es directamente proporcional tanto al error como al vector de la ganancia, que controla cuanta sensibilidad se desea, a través del factor de ponderación.

Resumen del algoritmo de RLS

El algoritmo RLS para un p-th ordena que el filtro de RLS se pueda resumir como

Note que la recursión para sigue una ecuación de Riccati y así dibuja paralelas al filtro de Kalman.

Celosía recurrente la menor parte de filtro de cuadrados (LRLS)

El Celosía Recurrente la Menor parte de Cuadrados el filtro adaptable se relaciona con RLS estándar salvo que se requieren menos operaciones aritméticas (la orden N). Ofrece ventajas adicionales a algoritmos LMS convencionales como precios de convergencia más rápidos, estructura modular e insensibilidad a variaciones en la extensión eigenvalue de la matriz de correlación de la entrada. El algoritmo LRLS descrito está basado en a posteriori errores e incluye la forma normalizada. La derivación es similar al algoritmo de RLS estándar y está basada en la definición de. En el caso de la predicción avanzado, tenemos con la señal de la entrada como la muestra más moderna. El caso de la predicción atrasado es, donde soy el índice de la muestra en el pasado queremos predecir, y la señal de la entrada es la muestra más reciente.

Resumen del parámetro

: es el coeficiente de reflexión avanzado

: es el coeficiente de reflexión atrasado

: representa el instantáneo error de la predicción a posteriori avanzado

: representa el instantáneo error de la predicción a posteriori atrasado

: es los menores-cuadrados mínimos error de la predicción atrasado

: es los menores-cuadrados mínimos error de la predicción avanzado

: es un factor de la conversión entre a priori y a posteriori errores

: son los coeficientes del multiplicador feedforward.

: es una pequeña constante positiva que puede ser 0.01

Resumen del algoritmo de LRLS

El algoritmo para un filtro de LRLS se puede resumir como

Celosía normalizado recurrente la menor parte de filtro de cuadrados (NLRLS)

La forma normalizada del LRLS tiene menos recursiones y variables. Se puede calcular aplicando una normalización a las variables internas del algoritmo que guardará su magnitud saltada por una. Esto generalmente no se usa en tiempo real aplicaciones debido al número de división y operaciones de la raíz cuadrada que viene con una carga computacional alta.

Resumen del algoritmo de NLRLS

El algoritmo para un filtro de NLRLS se puede resumir como

Véase también

Notas



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