F-coalgebra

En matemáticas, expresamente en la teoría de la categoría, un-coalgebra es una estructura definida según un functor. Tanto para el álgebra como para coalgebra, un functor es un modo conveniente y general de organizar una firma. Esto tiene aplicaciones en ciencias informáticas: los ejemplos de coalgebras incluyen estructuras de datos perezosas, infinitas, como corrientes, y también sistemas de transición.

- los coalgebras son duales a - álgebras. Mientras que la clase de todas las álgebras para una firma dada y teoría ecuacional forma una variedad, tan la clase de todo-coalgebras la satisfacción de una teoría ecuacional dada forma un covariety, donde dan por la firma.

Definición

Un-coalgebra para un endofunctor

:

está un objeto de juntos con un-morphism

:.

Un-coalgebra homomorphism de a otro-coalgebra

es un morphism

:

en tal que

:.

Así los-coalgebras para functor dado F constituyen una categoría.

Ejemplos

Considere el functor que envía a, los-coalgebras son corrientes entonces finitas o infinitas sobre el alfabeto, donde está el juego de estados y es la función de transición estatal. La aplicación de la función de transición estatal a un estado puede ceder dos resultados posibles: un elemento de juntos con el siguiente estado de la corriente o el elemento de la cosa única se puso 1 como un "estado final" separado que indica que no hay más valores en la corriente.

En muchas aplicaciones prácticas, la función de transición estatal de tal objeto de coalgebraic puede ser de la forma, que fácilmente descompone en factores en un grupo de "seleccionadores", "observadores", "métodos". Los casos especiales del interés práctico incluyen a observadores que ceden valores del atributo y métodos mutator de la forma que toma parámetros adicionales y cede estados. Esta descomposición es dual a la descomposición de inicial - álgebras en sumas de 'constructores'.

Deje a P ser la construcción del juego de poder en la categoría de juegos, considerados como un covariant functor. Los P-coalgebras están en la correspondencia bijective con juegos con una relación binaria.

Ahora fije otro juego, A: los coalgebras para el endofunctor P (A× (-)) están en la correspondencia bijective con sistemas de transición marcados.

Homomorphisms entre coalgebras equivalen a bisimulations funcional entre sistemas de transición marcados.

Aplicaciones

En ciencias informáticas, el coalgebra ha surgido como un modo conveniente y apropiadamente general de especificar el comportamiento reactivo de sistemas, incluso clases en la programación orientada al objeto. Mientras los acuerdos de la especificación algebraicos con el comportamiento funcional, típicamente usando datatypes inductivo generado por constructores, coalgebraic especificación se refieren por el comportamiento reactivo modelado por tipos de proceso de coinductive que son observables por seleccionadores, mucho en el espíritu de la teoría de autómatas. Un papel importante es jugado aquí por el final coalgebras, que son juegos completos de comportamientos posiblemente infinitos, como corrientes. La lógica natural para expresar propiedades de tales sistemas es la lógica modal coalgebraic.

Enlaces externos

Véase también



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